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　　数学是一个极富魅力的世界ღ✿◈◈。在人类认识自然ღ✿◈◈、追求美好生活的过程中ღ✿◈◈，数学发挥着重要作用ღ✿◈◈。虽然不懂数学也能过得很愉快ღ✿◈◈，但具备一定的数学素养ღ✿◈◈，能帮助我们更好地认识世界ღ✿◈◈、理解世界ღ✿◈◈、欣赏世界ღ✿◈◈。

　　数学ღ✿◈◈，古老又年轻ღ✿◈◈。在信息时代ღ✿◈◈，数学的重要性与日俱增ღ✿◈◈，展现出前所未有的活力ღ✿◈◈。推动数学发展的ღ✿◈◈，既有大量未解决的旧问题ღ✿◈◈，也有社会科技发展涌现的新问题ღ✿◈◈，从事数学研究和应用的人数也在不断增加ღ✿◈◈。

　　数学研究量与形ღ✿◈◈，量与形是物质的基本属性ღ✿◈◈，这决定了数学的价值和意义ღ✿◈◈。经过几千年的发展ღ✿◈◈，数学已经成为一个庞大的学科ღ✿◈◈，通常分为基础数学（即纯数学）和应用数学两大部分ღ✿◈◈。基础数学又大致可分为代数（含数论）ღ✿◈◈、几何（含拓扑）ღ✿◈◈、分析数学（以微积分为基础）等ღ✿◈◈。

　　毫无疑问ღ✿◈◈，数的起源是计数ღ✿◈◈，也就是数物品ღ✿◈◈。开始时ღ✿◈◈，人们对数的观念与具体事物联系在一起ღ✿◈◈，比如一棵树ღ✿◈◈、一块石头ღ✿◈◈、两个人ღ✿◈◈、两条鱼等ღ✿◈◈。逐渐地私家侦探公司265007ღ✿◈◈，人们发现一棵树ღ✿◈◈、一块石头等具体事物共同的数字属性ღ✿◈◈，数的抽象概念就这样形成了ღ✿◈◈。

　　产生数的方式是无穷无尽的ღ✿◈◈，量的比值是数ღ✿◈◈，面积是数ღ✿◈◈，体积是数ღ✿◈◈，温度是数ღ✿◈◈，时间是数……今天我们能强烈感受到数字化的影响ღ✿◈◈，其实数字化很久以前就有了ღ✿◈◈，如门牌号ღ✿◈◈、车牌号ღ✿◈◈、车次等ღ✿◈◈。数字化的本质是编码ღ✿◈◈，赋予数字以含义ღ✿◈◈。例如一幅照片的数字化就是把照片分成很多小方块ღ✿◈◈，每一个小方块看作一点ღ✿◈◈，用三个数字表示其红绿蓝的成分ღ✿◈◈。所谓像素就是这样的小方块的个数ღ✿◈◈，像素越高ღ✿◈◈，表明数字化做得越精细ღ✿◈◈。重要的是ღ✿◈◈，数字可以运算ღ✿◈◈，经过数字化后ღ✿◈◈，照片也就可以通过数学的手段进行变化了ღ✿◈◈。

　　数ღ✿◈◈，有无穷的魅力ღ✿◈◈、奥秘和神奇ღ✿◈◈，始终吸引着最富智慧的数学家和业余爱好者ღ✿◈◈。研究数的分支是数论ღ✿◈◈，这一领域一直很活跃ღ✿◈◈，近年来取得巨大进展ღ✿◈◈，包括费马大定理的证明ღ✿◈◈、孪生素数猜想的突破ღ✿◈◈、朗兰兹纲领的进展等ღ✿◈◈。素数是数论研究的一个永恒主题ღ✿◈◈，其神秘的结构和规律始终挑战着人类的智力ღ✿◈◈。

　　形是数学分支几何关注的对象ღ✿◈◈。这个世界充满了各种各样的形ღ✿◈◈，蓝天ღ✿◈◈、白云ღ✿◈◈、青山ღ✿◈◈、流水ღ✿◈◈、高楼ღ✿◈◈、动物ღ✿◈◈、植物有各自的形ღ✿◈◈，它们都富有美感ღ✿◈◈、令人愉悦ღ✿◈◈。公元前300多年ღ✿◈◈，希腊人欧几里得采用公理化体系ღ✿◈◈，系统整理了古希腊人的数学成就ღ✿◈◈，写成了《几何原本》ღ✿◈◈。在以后2000多年的历史中ღ✿◈◈，它都是一部标准的教科书ღ✿◈◈。一直到19世纪ღ✿◈◈，人们都相信这种几何准确描述了我们这个世界ღ✿◈◈。但是ღ✿◈◈，非欧几何的出现让人们知道几何原来可以有很多种ღ✿◈◈。这立即带来一个问题ღ✿◈◈，哪一种几何能正确描述我们这个世界的空间呢？广义相对论说我们生活的空间是弯曲的ღ✿◈◈，需要用黎曼几何描述ღ✿◈◈，弦论则认为我们的时空是十维的ღ✿◈◈。

　　现实空间远比欧几里得几何中的空间复杂ღ✿◈◈。当把几何理解为一种结构私家侦探公司265007ღ✿◈◈，就摆脱了几何是现实空间的抽象这个限制ღ✿◈◈，几何的内涵会变得异常丰富和辽阔ღ✿◈◈。很多对象都出人意料地有非常好的几何结构ღ✿◈◈，如一个空间所有过原点的直线全体的几何结构就是射影空间ღ✿◈◈。

　　现实世界日新月异尊龙平台人生就是博官网下载ღ✿◈◈，充满变化ღ✿◈◈。微积分就是研究变化的数学ღ✿◈◈，基本概念有极限ღ✿◈◈、微分和积分ღ✿◈◈。微积分及在其基础上发展起来的分析数学ღ✿◈◈，成为认识和探索世界奥秘最有力的数学工具之一ღ✿◈◈，为数学带来全面的大发展ღ✿◈◈。

　　求解方程一直强有力地推动数学的发展ღ✿◈◈。刚开始是多项式方程ღ✿◈◈，在探究多项式方程的过程中ღ✿◈◈，代数数论ღ✿◈◈、代数ღ✿◈◈、代数几何等分支产生了ღ✿◈◈。微积分出现后ღ✿◈◈，微分方程也就自然出现了ღ✿◈◈。求解微分方程在数学中非常重要ღ✿◈◈，因为大自然的很多奥秘是通过微分方程呈现的ღ✿◈◈，著名的有描写流体运动的纳维—斯托克斯方程ღ✿◈◈、描写电磁运动的麦克斯韦方程ღ✿◈◈、广义相对论中的爱因斯坦场方程ღ✿◈◈、量子力学中的薛定谔方程等私家侦探公司265007ღ✿◈◈。

　　应用数学是数学的重要组成部分ღ✿◈◈。在20世纪以前ღ✿◈◈，虽然很多数学工作与实际应用密切相关ღ✿◈◈，但应用数学这个名称用得很少ღ✿◈◈，并没有形成特别有影响的独立分支ღ✿◈◈。进入20世纪后ღ✿◈◈，应用数学快速成长ღ✿◈◈，出现了计算数学ღ✿◈◈、运筹学ღ✿◈◈、控制论ღ✿◈◈、组合数学ღ✿◈◈、博弈论ღ✿◈◈、信息论ღ✿◈◈、数理统计等多个应用数学分支ღ✿◈◈。计算机的出现进一步推动应用数学发展ღ✿◈◈，还产生了很多交叉方向ღ✿◈◈，如计算机数学ღ✿◈◈、人工智能等ღ✿◈◈。生物科学的迅速发展也涌现很多数学问题ღ✿◈◈，现在有生物数学这一交叉分支ღ✿◈◈，它关注的是用数学模型理解生物现象ღ✿◈◈。物理一直是数学发展的强大推动力量ღ✿◈◈。在20世纪ღ✿◈◈，数学物理成为数学的一个重要分支ღ✿◈◈，在过去几十年间非常活跃ღ✿◈◈，成果显著ღ✿◈◈。它主要关注规范场论ღ✿◈◈、量子场论ღ✿◈◈、弦论尊龙平台人生就是博官网下载ღ✿◈◈、统计物理等领域的数学问题ღ✿◈◈。

　　我们现在非常强调交叉ღ✿◈◈，原因在于不同学科其实是现实不同侧面的反映ღ✿◈◈，只有结合起来ღ✿◈◈，我们才能对现实有更全面的认知ღ✿◈◈。就像“盲人摸象”ღ✿◈◈，每个学科可能只摸到一个局部ღ✿◈◈、一个侧面ღ✿◈◈，把所有的部分合起来ღ✿◈◈，才会形成完整的“象”ღ✿◈◈。在不同分支ღ✿◈◈、不同学科交叉的过程中ღ✿◈◈，数学也在不断产生新的概念ღ✿◈◈、方法ღ✿◈◈、理论等ღ✿◈◈。

　　如今人类社会正步入人工智能时代ღ✿◈◈，数学在其中起到的作用更是基础性的ღ✿◈◈。计算数学ღ✿◈◈、优化ღ✿◈◈、统计等数学分支发挥突出作用ღ✿◈◈，数论ღ✿◈◈、微分几何等更多数学分支也不可或缺ღ✿◈◈。人工智能也有力促进了数学的发展并提出很多极具挑战的数学问题ღ✿◈◈，其中之一是人工智能的数学基础ღ✿◈◈，如面向大数据的统计学基础ღ✿◈◈、人工智能大模型的数学机理等ღ✿◈◈。

　　在现代社会ღ✿◈◈，数学素养已经成为公民的基本素养ღ✿◈◈，世界各国都非常重视ღ✿◈◈。数学有助于培养人的逻辑推理能力ღ✿◈◈，因为数学的大厦是通过逻辑支撑的ღ✿◈◈，逻辑把数学不同的内容组织在一起ღ✿◈◈。当然ღ✿◈◈，数学中的逻辑主要是演绎和归纳ღ✿◈◈，是形式逻辑ღ✿◈◈，现实的逻辑要复杂得多ღ✿◈◈，仅有形式逻辑是不够的ღ✿◈◈。

　　对学习数学而言ღ✿◈◈，尤为重要的是获得数学思维ღ✿◈◈。掌握了数学的思维方式ღ✿◈◈、知道怎么考虑问题等ღ✿◈◈，比单纯获得数学知识要有价值得多ღ✿◈◈。数学直觉是数学思维的重要组成部分ღ✿◈◈。欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的思维可以说是数学思维的典型例子ღ✿◈◈，欧拉把陆地抽象成点ღ✿◈◈，桥抽象成线段ღ✿◈◈，从而揭示问题的数学本质ღ✿◈◈，进而解决问题ღ✿◈◈。

　　培养数学素养ღ✿◈◈，最好还能了解数学的发展史ღ✿◈◈，它能帮助我们深入认识数学ღ✿◈◈。从数学史中我们可以了解到数学的发展历程一点都不枯燥ღ✿◈◈，虽探索艰辛却充满了有趣的故事ღ✿◈◈、生动的人物ღ✿◈◈、引人入胜的例子ღ✿◈◈。比如ღ✿◈◈，数学史上关于数与形的观念变化就很有意思ღ✿◈◈，无理数ღ✿◈◈、负数ღ✿◈◈、虚数都经历了一个漫长曲折的接受过程ღ✿◈◈。

　　理解数学符号体系的意义也很重要ღ✿◈◈。恰当的符号体系价值巨大ღ✿◈◈，数学发展史上经常出现记号与数学理论进展密不可分的情况ღ✿◈◈。莱布尼茨在微积分中引入的记号就是一个典范ღ✿◈◈。在16世纪以前ღ✿◈◈，几乎没人考虑过在代数领域系统使用符号ღ✿◈◈，致使代数发展缓慢ღ✿◈◈；16世纪法国数学家韦达在这方面作出了突出贡献ღ✿◈◈，此后代数思想才得以更有效地表达ღ✿◈◈。

　　在数学的发展过程中ღ✿◈◈，很多数学家的哲学观也产生了深远影响ღ✿◈◈。毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”“数统治着宇宙”ღ✿◈◈，柏拉图学派认为“纯粹思想的最高形式是数学”ღ✿◈◈，高斯说“数学是科学的皇后”ღ✿◈◈，等等ღ✿◈◈。这些观点对科学文化有巨大影响ღ✿◈◈，很多杰出的科学家ღ✿◈◈，甚至人文学者对数学都有一种敬畏ღ✿◈◈。数学家研究数学时的心理活动和背后的出发点同样很有意思ღ✿◈◈。比如ღ✿◈◈，笛卡尔创立解析几何（即坐标几何）与他的批判精神是分不开的ღ✿◈◈。他说ღ✿◈◈：“我决心离弃仅有抽象的几何ღ✿◈◈，即仅为练习头脑设立问题的几何ღ✿◈◈；这样做ღ✿◈◈，是为了研究另一种几何ღ✿◈◈，旨在自然现象的解释ღ✿◈◈。”

　　好的科普作品对提高大众的数学素养非常重要ღ✿◈◈。许多国家都重视数学科普ღ✿◈◈，除了专门的科普工作者ღ✿◈◈，还有很多杰出的学者也投身其中ღ✿◈◈，推出形式多样的高质量科普作品ღ✿◈◈，让大众觉得数学有趣ღ✿◈◈、可亲ღ✿◈◈，没那么神秘ღ✿◈◈，可以为普通人所理解ღ✿◈◈。这方面我们还有提升空间ღ✿◈◈。

　　《什么是数学——对思想和方法的基本研究》ღ✿◈◈：R·柯朗ღ✿◈◈、H·罗宾著ღ✿◈◈，I·斯图尔特修订ღ✿◈◈，左平ღ✿◈◈、张饴慈译ღ✿◈◈；复旦大学出版社出版ღ✿◈◈。

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　　数学ღ✿◈◈，古老又年轻ღ✿◈◈。在信息时代ღ✿◈◈，数学的重要性与日俱增ღ✿◈◈，展现出前所未有的活力ღ✿◈◈。推动数学发展的ღ✿◈◈，既有大量未解决的旧问题ღ✿◈◈，也有社会科技发展涌现的新问题ღ✿◈◈，从事数学研究和应用的人数也在不断增加ღ✿◈◈。

　　数学研究量与形ღ✿◈◈，量与形是物质的基本属性ღ✿◈◈，这决定了数学的价值和意义ღ✿◈◈。经过几千年的发展ღ✿◈◈，数学已经成为一个庞大的学科ღ✿◈◈，通常分为基础数学（即纯数学）和应用数学两大部分ღ✿◈◈。基础数学又大致可分为代数（含数论）ღ✿◈◈、几何（含拓扑）ღ✿◈◈、分析数学（以微积分为基础）等ღ✿◈◈。

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　　数ღ✿◈◈，有无穷的魅力ღ✿◈◈、奥秘和神奇ღ✿◈◈，始终吸引着最富智慧的数学家和业余爱好者ღ✿◈◈。研究数的分支是数论ღ✿◈◈，这一领域一直很活跃ღ✿◈◈，近年来取得巨大进展ღ✿◈◈，包括费马大定理的证明ღ✿◈◈、孪生素数猜想的突破ღ✿◈◈、朗兰兹纲领的进展等ღ✿◈◈。素数是数论研究的一个永恒主题ღ✿◈◈，其神秘的结构和规律始终挑战着人类的智力ღ✿◈◈。

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　　现实空间远比欧几里得几何中的空间复杂ღ✿◈◈。当把几何理解为一种结构ღ✿◈◈，就摆脱了几何是现实空间的抽象这个限制ღ✿◈◈，几何的内涵会变得异常丰富和辽阔ღ✿◈◈。很多对象都出人意料地有非常好的几何结构ღ✿◈◈，如一个空间所有过原点的直线全体的几何结构就是射影空间私家侦探公司265007ღ✿◈◈。

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　　《什么是数学——对思想和方法的基本研究》ღ✿◈◈：R·柯朗ღ✿◈◈、H·罗宾著ღ✿◈◈，I·斯图尔特修订ღ✿◈◈，左平ღ✿◈◈、张饴慈译ღ✿◈◈；复旦大学出版社出版ღ✿◈◈。

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